Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (2024)

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Sukomaki Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (3)

20:46 Uhr, 27.08.2023

Zur Abwechslung mal eine leichte Frage von mir.

Ich möchte f(x)=1x2+1 auf der reellen Achse integrieren.

Dazu gibt es ja mindestens drei Methoden, die ich hier mal kurz anreiße.

1. Mit dem Residuenkalkül

Resi1x2+1=1(x2+1)ʹ(i)=12i

Res-i1x2+1=1(x2+1)ʹ(-i)=1-2i

-1x2+1dx=2πi(a)>0Resaf(x)=2πi12i=π

2. Mit direkter Integration

-1x2+1dx=arctan(x)-=limt2arctan(t)=2π2=π

3. Mit Partialbruchzerlegung

-1x2+1dx=--i2(x-i)dx+-i2(x+i)dx=

-i2ln(x-i)-+i2ln(x+i)-=

limt-i2ln(t-i)+i2ln(-t-i)+i2ln(t+i)-i2ln(-t+i)= (*)

limt-i2ln(-t+it+i)-i2ln(t-i-t-i)=

limtarctan(t)+arctan(t)=π

Zur 3. Methode habe ich auch schon meine beiden Fragen :

I. Ist es legitim, den Absolutbetrag im Logarithmus beim Integrieren wegzulassen?

II. Warum wird * Null, wenn ich ln((-1)(t+i)) durch iπ+ln(t+i) ersetze?

Ist das etwa wegen ln(1)ln(-1)+ln(-1)?

Gruß
Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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pwmeyer Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (8)

12:11 Uhr, 29.08.2023

Hallo,

grundsätzlich übertragen sich die Rechenregeln für den reellen Logarithmus nicht auf den Komplexen. Deine Rechnungen sind also zunächst grundsätzlich nicht gerechtfertigt. Ob man die Umformungen für die konkreten Werte rechtfertigen kann, sehe ich so schnell nicht.

Im Übrigen müsst man für ein uneigentliches Integral den Grenzübergang für - und separat und unabhängig voneinander durchführen.

Gruß pwm

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HAL9000

12:37 Uhr, 29.08.2023

> I. Ist es legitim, den Absolutbetrag im Logarithmus beim Integrieren wegzulassen?

Das mit dem Absolutbetrag dzz=lnz+C gilt sowieso nur für REELLE Integranden - für echt komplexe ist der Betrag dort regelrecht falsch!

Was anderes hast du aber zwischendurch falsch gemacht: Du kannst nicht die beiden uneigentlichen Integrale von 1x+i und 1x-i GETRENNT auswerten, weil diese getrennt schlicht nicht existieren! Richtigerweise kannst du das nur über

[-i2ln(x-i)+i2ln(x+i)]x=-

tun, d.h. ohne Aufspaltung.

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Sukomaki Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (15)

09:24 Uhr, 30.08.2023

> für echt komplexe ist der Betrag dort regelrecht falsch

Heißt das, ich lasse beim Integrieren für komplexe Werte 1x-aln(x-a) den Betrag einfach weg?

Oder darf ich generell diese Art von Integral nicht bilden?

> weil diese getrennt schlicht nicht existieren!

> Richtigerweise kannst du das nur über

> [-i2ln(x-i)+i2ln(x+i)]x=-

> tun, d.h. ohne Aufspaltung.

Und wenn ich das wie folgt mache - stimmt das dann so?

[-i2ln(x-i)+i2ln(x+i)]x=-=

[-i2ln(-i)+i2ln(+i)]-[-i2ln(--i)+i2ln(-+i)]=

limt[-i2ln(t-i)+i2ln(t+i)]-[-i2ln(-t-i)+i2ln(-t+i)]=

limt-i2ln(-t+it+i)-i2ln(t-i-t-i)=

limtarctan(t)+arctan(t)=π

> Im Übrigen müsst man für ein uneigentliches Integral den Grenzübergang für −∞ und ∞ separat
> und unabhängig voneinander durchführen.

Und wie mache ich das?

Was mich wundert ist, dass ich für meine Herangehensweise mit der Partialbruchzerlegung das richtige Ergebnis bekomme, nämlich π.

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HAL9000

10:09 Uhr, 30.08.2023

Ja, lass den Betrag weg. Klappt ja auch im reellen: Z.B. bekommst du dann für 0<c<d die Rechnung

-d-c1xdx=[ln(x)]x=-d-c=ln(-c)-ln(-d)=ln(c)+iπ-ln(d)-iπ=ln(c)-ln(d),

was ja dem zu erwartendem Ergebnis entspricht.

Was deine Rechnung betrifft: Setze doch nicht so vorschnell das ein, sondern rechne sorgfältig das uneigentliche Integral als Grenzwert eines Integrals mit endlichen Grenzen aus!!!

Konkret: Für x>0 (im ersten und vierten Quadranten) ist ln(x±i)=ln(x2+1)±iarctan(1x) und damit ln(x+i)-ln(x+i)=2iarctan(1x). Für x<0 (im zweiten und dritten Quadranten) hingegen ist ln(x±i)=ln(x2+1)±i[π+arctan(1x)], und damit ln(x+i)-ln(x+i)=2i[π+arctan(1x)]. Das ergibt

limx[-i2ln(x-i)+i2ln(x+i)]=limx[-arctan(1x)]=0

limx-[-i2ln(x-i)+i2ln(x+i)]=limx-[-π-arctan(1x)]=-π

und somit im Ergebnis den uneigentlichen Integralwert 0-(-π)=π.

> Was mich wundert ist, dass ich für meine Herangehensweise mit der Partialbruchzerlegung das richtige Ergebnis bekomme, nämlich π

Gelegentlich geht das mit solchen heuristischen (exakt mathematisch betrachtet "haarsträubenden") Umformungen auch gut, man findet irgendwie und vielleicht auch etwas Glück auf den rechten Rechenpfad zurück und hat dann das richtige Ergebnis. Aber oft fährt man mit dieser Strategie auch gegen den Baum.

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Sukomaki Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (22)

10:55 Uhr, 30.08.2023

> ln(x+i)ln(x+i)=2iarctan(1x)

0=2iarctan(1x)?

Soll das etwa ln(x+i)ln(x-i) heißen?

Gleichermaßen :

> ln(x+i)ln(x+i)=2i[π+arctan(1x)]

Soll das etwa ln(x+i)ln(x-i)=2i[π+arctan(1x)] heißen?

Aber vielleicht weißt Du ja etwas, was ich nicht weiß und Deine Rechnung ist richtig.

(oder Du hast da ein Copy & Paste - Fehler begangen)

Ansonsten : Mal wieder gut erklärt von Dir.

Ist krass.

Habe ich verstanden :-)

Dein letzter Absatz erinnert mich an ein Geschehnis in der Grundschule. Da hat ein Mitschüler in einer Mathe-Arbeit bei der Beantwortung einer Frage zwei Fehler gemacht, die sich gegenseitig aufgehoben haben. Das Ergebnis stimmte, der Rechenweg nicht. Was soll die Lehrkraft da machen? :-D)

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HAL9000

10:57 Uhr, 30.08.2023

Äh ja, Copy+Paste-Fehler.

Ähnlich wie bei Potenzgesetzen muss man aber auch bei Logarithmengesetzen im Komplexen auf der Hut sein:

ln(x+i)-ln(x-i)=ln(x+ix-i) ist für x0 durchaus richtig, aber für x<0 stimmt es nicht, da gilt stattdessen

ln(x+i)-ln(x-i)=ln(x+ix-i)+2πi

Allgemein gilt lediglich, dass für beliebige z1,z2\{0} ein k{-1,0,1} existiert mit

ln(z1)-ln(z2)=ln(z1z2)+2πki

Du hast bei deinen Zusammenfassungen oben Glück gehabt, dass jeweils k=0 war.

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Sukomaki Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (29)

11:20 Uhr, 31.08.2023

Zuerst zu

ln(z1)-ln(z2)=ln(z1z2)+2πki

Ich wechsle in die Polardarstellung.

Es ist ln(r1eiφ1)-ln(r2eiφ2)=ln(r1)+iφ1-ln(r2)-iφ2

Und ln(r1eiφ1r2eiφ2)=ln(r1)-ln(r2)+ln(eiφ1eiφ2)

Der Einfachheit halber lasse ich ln(r1)-ln(r2) weg. Das kürzt sich raus.

Wenn φ1-φ2>π, dann ist die Winkeldifferenz π+t=π+t+(π-π)=t-π+2π

Dann ist ln(ei(t-π+2π))=ln(ei(t-π))+2πi=ln(ei(φ1-φ2))+2πi

Wenn φ1-φ2<-π, dann ist die Winkeldifferenz -π-t=-π-t+(π-π)=π-t-2π

Dann ist ln(ei(π-t-2π))=ln(ei(π-t))-2πi=ln(ei(φ1-φ2))-2πi

Ansonsten ist φ1-φ2]-π,π] und ln(ei(φ1-φ2))=i(φ1-φ2)

Auf beiden Seiten von ln(eiφ1)-ln(eiφ2)=ln(ei(φ1-φ2)) steht dann das Gleiche.

ln(z1)-ln(z2)=ln(z1z2)+2πki,k{-1,0,1}

Stimmt das soweit?

Desweiteren gilt

ln(x+i)-ln(x-i)=ln(x+ix-i)+2πi

sogar für x+ti,t[-1,1] und x negativ

Aber warum?

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HAL9000

11:25 Uhr, 31.08.2023

Was bedeutet "sogar für x+ti" ? Meinst du da stattdessen x=ti ?

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Sukomaki Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (36)

11:28 Uhr, 31.08.2023

Ich meine schon die komplexe Zahl aus Realteil x (negativ) und Imaginärteil t.

Ich habe das mit MAPLE herausgefunden, kann es aber nicht nachvollziehen.

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Sukomaki Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (40)

14:34 Uhr, 01.09.2023

Hast Du eine Idee, warum

ln(z+i)-ln(z-i)=ln(z+iz-i)+2πi für z=x+iy wobei x- und y[-1,1]?

Sukomaki

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Sukomaki Integral von 1/(x^2+1) - OnlineMathe - das mathe-forum (44)

15:41 Uhr, 02.09.2023

Danke für Eure Hilfe bei der Integration per Partialbruchzerlegung.

Für meine letzte Frage mache ich einen neuen Thread auf, weil wir da schon ein bisschen vom Weg abgekommen sind.

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